SSCCience: “Lo que las matemáticas no prueban”

Corría el año 1931 cuando un joven matemático austrohúngaro llamado Kurt Gödel presentó unos resultados sorprendentes a los que llamó teoremas de incompletitud. Vamos a enunciarlos con rigor matemático: el primer teorema de incompletitud afirma que toda teoría formal (coherente y computable) que contenga la aritmética es incompleta. El segundo teorema añade que, además, ninguna de dichas teorías es capaz de demostrar su propia coherencia.

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M. C. Escher

Pero, ¿qué significa este trabalenguas?

Primero tenemos que entender qué es una teoría formal. En cualquier ciencia, estudiamos la realidad desde el lenguaje de las matemáticas. Por ejemplo, la Teoría de la relatividad en Física. Lo que hacemos es elegir como cimiento algunos axiomas, que son fórmulas que expresan matemáticamente verdades de la realidad que queremos estudiar. Si los axiomas están bien elegidos (es decir, si son “coherentes y computables”), y suelen estarlo, lo que ocurre es que todo lo que deducimos de ello es verdadero. A esto lo llamamos teoría formal y ¡gracias a ello funciona la ciencia!

Ahora bien, los teoremas de Gödel nos advierten de que, por buenas que sean nuestras teorías, siempre se van a dejar algunas verdades fuera. Veamos por qué:

El primer teorema de Gödel nos dice que toda teoría formal con la que queramos estudiar cualquier realidad más compleja que la aritmética… ¡es incompleta! Y esto quiere decir que hay algunas propiedades de su objeto de estudio que son verdaderas pero que no son demostrables (no se pueden deducir de los axiomas).

Para remate, el segundo teorema dice que no podemos esquivar la incompletitud de ninguna manera: es decir, que no podemos “mejorar la teoría” cogiendo mejores axiomas. Aunque lo intentemos, ¡siempre estaremos dejando fuera algunas verdades!

Teniendo en cuenta que la aritmética es una cosa bastante sencilla (los números naturales (1,2,3,4…) con las operaciones de sumar y multiplicar), llegamos a la conclusión de que gran parte de las matemáticas (y las ciencias que la usan como lenguaje, por ejemplo la física) no lo demuestran todo. Ojo, ¡esto no significa que sean inútiles! Sencillamente que se dejan algunas verdades fuera.

F. Kafka (www.quotefancy.com)

F. Kafka (www.quotefancy.com)

De aquí podemos aprender algo que es tan sencillo y profundo que nunca nos damos cuenta de ello… Se trata de comprender que la realidad y nuestra comprensión de la realidad son dos cosas distintas. La realidad es siempre mayor. Y el lenguaje con que tratamos de hablar de ella (sea español, chino o el lenguaje de las matemáticas) es solo como un reflejo o una imagen, siempre incompleto, por más rico y sutil que sea.

Que las mates no lo prueban todo es cierto porque… ¡lo prueban las mates!

Pablo Bernal Rubio ss.cc.

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